Tabiiy logarifmaning Laplas o'zgarishini qanday hisoblash mumkin?

The Laplas transformatsiyasi doimiy koeffitsientli differentsial tenglamalarni yechishda keng qo'llaniladigan ajralmas o'zgarishdir. Transformatsiyalar odatda juda sodda, ammo Laplas transformatsiyasini elementar usullar yordamida osongina topib bo'lmaydigan funktsiyalar mavjud. Ushbu maqolada, Gamma funktsiyasining kengayishidan foydalanib, tabiiy logarifmaning Laplas o'zgarishini qanday olish mumkinligini va tegishli funktsiyalarning Laplas o'zgarishini topish uchun qanday usullardan foydalanish mumkinligini ko'rib chiqamiz. Shunday qilib, sizga tanish bo'lish tavsiya etiladi bu texnikalar davom etishdan oldin.

Tabiiy logarifm

Tabiiy logarifm
Integral bilan boshlang. Bu logarifmik funktsiyani o'z ichiga oladigan integraldir. Qismlarga, u-almashtirishlarga yoki boshlang'ich hisob-kitoblar sinfida o'rganilgan har qanday texnikaga integratsiya miqdori ushbu integralni hal qilmaydi, chunki bu integralda elementar funktsiyalar nuqtai nazaridan yozilishi mumkin bo'lgan antivirus moddasi yo'q.
  • ∫0∞ln⁡te − stdt
Tabiiy logarifm
U-sub u = st ni qiling. Jurnalning xususiyatlari bo'yicha integral ikkiga bo'linadi. Ikkinchisini fundamental teoremadan foydalanib baholash oson, chunki mustaqil emas
  • 1s∫0∞ln⁡ (us) e − udu = 1s∫0∞ln⁡ue − udu − ln⁡ss
Tabiiy logarifm
Gamma funktsiyasining ketma-ket kengayishini ko'rib chiqing. Bu erda ko'rib chiqilishi kerak bo'lgan ikkita muhim formulalar mavjud.
  • Birinchisi quyida keltirilgan. Gamma funktsiyasining cheksiz ketma-ketligini ifodalovchi formuladir. Ushbu formula cheksiz mahsulot ta'rifidan olingan (maslahatlarga qarang), bu erda ϵ
  • Ikkinchisi to'g'ridan-to'g'ri Gamma funktsiyasining integral ta'rifidan, Legendre ifodasidan kelib chiqadi. Eksponentni bazada e
  • Shunga qaramay, agar siz Gamma funktsiyasi bilan bog'liq bo'lgan integrallarni yaxshi bilmasangiz, ularga o'tishingiz tavsiya etiladi.
Tabiiy logarifm
Ε koeffitsientini toping. Xususan, birinchi kuchga. Buning sababi shundaki, biz hisoblashmoqchi bo'lgan integral Gamma funktsiyasining Teylor seriyasining koeffitsientida. Biz o'zimiz istagan aniq integral shuning uchun integralni baholash uchun biz ikkita ifodani tenglashtirishimiz kerak. Avval birinchi formulani ko'rib chiqamiz va ikkala tomonning eksponentini olamiz.
  • Γ (1 + ϵ) = exp⁡ (−γϵ + ∑j = 2∞ (−1) jζ (j) jϵj)
  • Ε
Tabiiy logarifm
Koeffitsientlarni tenglashtirish orqali 2 bosqichda integralni baholang. Oldingi natijalarni birlashtirib, biz tabiiy logarifmaning Laplas transformatsiyasiga keldik.
  • ∫0∞ln⁡ue − udu = −γ
  • L
  • Shubhasiz, ushbu maqolada keltirilgan usul ushbu turdagi ko'plab ko'plab integrallarni echishda ishlatilishi mumkin. Xususan, quyida keltirilgan turlari, bu erda a \ \ displaystyle a} va b
  • Yakuniy natija biroz g'ayrioddiy bo'lishiga qaramay, Eyler-Maskeroni doimiyligi mavjudligi sababli, Laplas transformatsiyasining xususiyatlari, masalan, siljish va hosilaviy xususiyatlari, hanuzgacha ishlaydi. Masalan, biz asl natijani bilganimizdan so'ng darhol quyidagi kabi natijalarni olishimiz mumkin. L

Umumiy ma'lumotlar

Umumiy ma'lumotlar
F (t) = ln2⁡t ning Laplas o'zgarishini hisoblang. Kundalik ikkinchi kuch biz koeffitsientni topishimiz kerakligini anglatadi bizning kengayishimizda. Kontseptual jihatdan, bu juda oson - biz shunchaki atamalarni ikkinchi tartibgacha saqlaymiz. Ammo algebra biroz ko'proq jalb qilingan. Bundan tashqari, jurnalning kuchi faqat log kuchi 1 bo'lganda biz uchun qulaydir. Shu sababli biz ushbu integralga to'g'ridan-to'g'ri murojaat qilishimiz kerak.
  • ∫0∞ln2⁡te − stdt
Umumiy ma'lumotlar
Quyidagi integrallarni ko'rib chiqing. Biz eksponentni eksponensial funktsiyada ushlab turamiz va keyin u-sub-ni bajaramiz bizda integral ichidagi jurnal bo'lmasa.
  • ∫0∞tϵe − stdt = ∑n = 0∞ϵnn! ∫0∞lnn⁡te − stdt
  • ∫0∞tϵe − stdt = 1s1 + ϵ∫0∞uϵe − udu = 1s1 + ϵΓ (1 + ϵ)
Umumiy ma'lumotlar
Ikkinchi iborani ikkinchi darajaga qadar kengaytiring. Biz qayta yozamiz bilan bazada.
  • Γ (1 + ϵ) s1 + ϵ≈1seϵln⁡s (e − γϵ + ζ (2) 2ϵ2) ≈1s (1 ϵln⁡s + ln2⁡s2ϵ2) (1 γϵ γϵ + ζ (2) 2ϵ2 + γ22ϵ2) S1s (⋯ + (ζ (2) 2 + γ22 + ⁡ln⁡s + ln2⁡s2) ϵ2)
Umumiy ma'lumotlar
Koeffitsientlarni taqqoslab baholang. Ikkinchi darajali koeffitsient a ga ega unda integralning yonidagi atama, shuning uchun biz baholash uchun biz topgan koeffitsientni 2 ga ko'paytiramiz. Aslida, tabiiy logning har qanday butun kuchini Laplas o'zgarishini topish mumkin. Biz shunchaki ko'proq shartlarga rioya qilishimiz kerak edi.
  • L
  • Ushbu texnikada bo'lgani kabi odatdagidek, logning pasayishi bilan integrallar bizning ishimiz natijasida tabiiy ravishda paydo bo'ladi. ∫0∞ln⁡te − stdt = −γ + ln⁡ss
Umumiy ma'lumotlar
Laplasning quyidagi o'zgarishlarini tekshiring. Birinchisi, biz foydalangan texnikani qo'llaydi. Ikkinchisi Laplas transformatsiyasining xususiyatlaridan foydalanadi.
Weierstraussning Gamma funktsiyasi uchun cheksiz mahsulot ifodasi quyida keltirilgan. Aynan shu tomondan (va rekursion aloqani) biz olishimiz mumkin
  • Γ (1 + ϵ) = ϵΓ (ϵ) = e − kk = 1∞eϵ / k (1 + ϵk) −1
  • ln⁡Γ (1 + ϵ) = - γϵ + kk = 1∞ (ϵk − ln⁡ (1 + ϵk)) = - γϵ + ∑k = 1∞ (ϵk − ∑j = 1∞ (−1) j + 1ϵjjkj) = - γϵ + kk = 1∞∑j = 2∞ (−1) jϵjjkj = −γϵ + ∑j = 2∞ (−1) jζ (j) jjj
  • Oxirgi bosqichda biz Riemann zeta funktsiyasining yig'indini aniqlashdan foydalandik.
  • ζ (j) = ∑k = 1∞1kj
punctul.com © 2020